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【平面上定点F(0,1)和定直线L:y=-1,P为平面上一动点,其轨迹方程C为x^2=4y,过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线L于点N,已知向量NA=a*向量AF,向量NB=b*向量BF,求证a+b为定值】
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更新时间:2024-04-28 05:35:10
问题描述:

平面上定点F(0,1)和定直线L:y=-1,P为平面上一动点,其轨迹方程C为x^2=4y,过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线L于点N,已知向量NA=a*向量AF,向量NB=b*向量BF,求证a+b为定值

白锐回答:
  ∵AB过点F(0,1),∴可设AB的斜率为k,得:AB的方程是y=kx+1.   ∴可令A的坐标为(m,km+1),B的坐标为(n,kn+1).   在y=kx+1中,令y=-1,得:x=2/k,∴N的坐标是(2/k,-1).   ∴向量NA=(m-2/k,km+2),向量NB=(n-2/k,kn+2),    向量AF=(-m,-km),向量BF=(-n,-kn)   ∴a×向量AF=(-am,-akm),b×向量BF=(-bn,-bkn).   依题意,有:向量NA=a×向量AF, 向量NB=b×向量BF,   得:m-2/k=-am,n-2/k=-bn,∴a=2/(km)-1,b=2/(kn)-1,   ∴a+b=(2/k)(1/m+1/n)-2=(2/k)(m+n)/(mn)-2.   将y=kx+1代入x^2=4y中,得:x^2=4kx+4,即:x^2-4k-4=0.   显然,m、n是方程x^2-4k-4=0的两根,由韦达定理,有:m+n=-4,mn=4k.   于是,a+b=(2/k)(m+n)/(mn)-2=(2/k)×(-4)/(4k)-2=-2-2=-4.   ∴a+b=定值.
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