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有关高数的问题已知当x≠0时,F(x)=[∫2tf(t)dt-x²f(x)]/x²,其中∫2tf(t)dt的积分区间是0到x,f(x)连续,求limF(x)当x趋向于0时的值.解:limF(x)=∫2tf(t)dt/x²-f(x)=2xf
5人问答
更新时间:2024-04-27 22:20:24
问题描述:

有关高数的问题

已知当x≠0时,F(x)=[∫2tf(t)dt-x²f(x)]/x²,其中∫2tf(t)dt的积分区间是0到x,f(x)连续,求limF(x)当x趋向于0时的值.

解:limF(x)=∫2tf(t)dt/x²-f(x)=2xf(x)/2x-f(x)=0,可是如果用积分中值定理的话,设存在一个ε∈(0,x),使得∫2tf(t)dt=2xεf(ε),当x趋向于0时,limF(x)=lim[2xεf(ε)-x²f(x)]/x²=lim(ε→0)

[2ε²f(x)-ε²f(ε)]/ε²=f(0),

怎么这两种方法结果不一样,第一种方法得出的答案是对的,可是我不知道第二种有什么错误而得不出正确答案,请高手指点,谢谢

彭敏俊回答:
  第二种方法的极限lim(ε→0)[2ε²f(x)-ε²f(ε)]/ε²是怎么从前一个极限变化过来的?这里的ε与x有关的,也随着x→0而趋向于0,但是后续计算就无法进行了
林国平回答:
  您说的什么意思,我不太懂,能说的再详细点吗,谢谢
彭敏俊回答:
  为什么前一个极限中的x直接换成了ε
林国平回答:
  因为x不是趋向于0吗,ε又在x与0之间,所以ε也趋向于0,所以x就换成ε了,对不对
彭敏俊回答:
  不能换,ε依赖于x且随着x趋向于0,但是ε未必就等于x。如果函数里面只有ε没有x,换是可以的,比如lim(x→0)F(ε)=lim(ε→0)F(ε)是可行的
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