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【证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R】
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更新时间:2024-04-28 05:22:37
问题描述:

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

牛犇回答:
  正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.   即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍)   证明:   方法1.   在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H   CH=a·sinB   CH=b·sinA   ∴a·sinB=b·sinA   得到a/sinA=b/sinB   同理,在△ABC中,   b/sinB=c/sinC   方法2.   证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:   任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.   作直径BD交⊙O于D.连接DA.   因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度   因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.   所以c/sinC=c/sinD=BD=2R   类似可证其余两个等式.   方法3   记向量i,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0   则i(a+b+c)   =i·a+i·b+i·c   =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)   =-asinC+csinA=0   接着得到正弦定理
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