方法2：利用代数方法解几何问题 　　【例2】两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB）,如图（1）所示,若小段与大段的长度比等于大段的长度与全长之比,即,则点P叫做线段AB的黄金分割点． 　　（1）设AP=x,AB=1,求出的值； 　　（2）在等腰△ABC中,若AB=AC,且BD=BC=AD,则△ABC为黄金三角形． 　　①试求出∠A的度数；②求证：D为AC的黄金分割点． 　　（3）在矩形ABCD内以AB为边作正方形ABEF,得到小矩形ECDF．若矩形ABCD∽矩形ECDF．则矩形ABCD为黄金矩形,求出的值． 　　【分析】（1）由已知条件,把AP高为x,AB设为1,代入上式,得到关于x的方程,可得x的值,易求的值． 　　（2）由外角知识可求∠A的度数．由△BCD∽△ABC可求．由BC=AD,可得,则D为AC的黄金分割点． 　　（3）设AB=a,BC=b,则CE=b-a,由条件得到关于a、b的方程,a2+ba-b2=0,把它看成关于主元a的一元二次方程,可求得a=b,从而求出的值． 　　【解】（1）由题意,得PB=1-x, 　　∵, 　　∴, 　　∴x2=1-x 　　即x2+x-1=0 　　∴x= 　　∵x>0 　　∴x= 　　∴=x= 　　（2）①设∠A的度数为x, 　　∵AD=BD, 　　∴∠ABD=∠A=x 　　∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x 　　∵BD=BC, 　　∴∠C=∠BDC=2x 　　∵AB=AC, 　　∴∠ABC=∠C=2x 　　在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°, 　　∴x+2x+2x=180° 　　∴x=36°,即∠A=36° 　　②由①可知∠BDC=∠ABC, 　　∵∠C=∠C 　　∴△BDC∽△ABC 　　∴ 　　∵AD=BC 　　∴ 　　∴D为AC的黄金分割点． 　　（3）设AB=a,BC=b, 　　∵ABEF为正方形 　　∴BE=AB=DC=a 　　∴EC=b-a, 　　∵矩形ABCD∽矩形ECDF 　　∴ 　　∴ 　　∴a2=b2-ab 　　即a2+ba-b2=0 　　解得a=b 　　∵a>0,b>0 　　∴a=b舍 　　∴a=b 　　即= 　　∴= 　　【规律总结】1．本题考查相似形的应用,在求相似比时,所列方程看成关于主元的一元二次方程,可顺利求出相似比． 　　2．当=时,=,其中与互为倒数．