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【在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(1)证明数列{(an)-n}是等比数列(2)求数列{an}的前n项和Sn,】
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更新时间:2024-04-26 10:25:36
问题描述:

在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1

(1)证明数列{(an)-n}是等比数列

(2)求数列{an}的前n项和Sn,

范世宇回答:
  第1问:   设数列{bn},令bn=an-n   则an=bn+n   代入a(n+1)=4an-3n+1   得b(n+1)+n+1=4(bn+n)-3n+1   化简得b(n+1)=4bn   所以数列{bn}即数列{an-n}是公比为4的等比数列   第2问:   b1=a1-1=2-1=1   bn=b1*q^(n-1)=4^(n-1)   an=bn+n=4^(n-1)+n   Sn=a1+a2+……+an   =(1+1)+(4+2)+……+[4^(n-1)+n]   =[1+4+……+4^(n-1)]+(1+2+……+n)   =1*(1-4^n)/(1-4)+n(n+1)/2   =(4^n-1)/3+n(n+1)/2
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