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【对于四面体A-BCD,有以下命题:①若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形】
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更新时间:2024-04-17 00:27:55
问题描述:

对于四面体A-BCD,有以下命题:①若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;④若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是()

A.①③

B.③④

C.①②③

D.①③④

胡泉回答:
  对于①,设点A在平面BCD内的射影是O,因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD,   则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心,故①正确;   对于②设点A在平面BCD内的射影是O,则OB是AB在平面BCD内的射影,因为AB⊥CD,根据三垂线定理的逆定理可知:CD⊥OB同理可证BD⊥OC,所以O是△BCD的垂心,故②不正确;   对于③:如图:直接三角形的直角顶点已经标出,直角三角形的个数是4.故③正确   对于④,如图O为正四面体ABCD的内切球的球心,正四面体的棱长为:1;   所以OE为内切球的半径,BF=AF=32
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