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设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)
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更新时间:2024-04-24 01:02:01
问题描述:

设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)

何建回答:
  f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt=e^x-x∫(0,x)f(t)dt+∫(0,x)t*f(t)dt可知f(0)=1   求导:   f'(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt-x*f(x)+x*f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dtf'(0)=1   继续求导:   f''(x)=e^x-f(x)   f''(x)+f(x)=e^x   解这个二阶线性微分方程   通解为f(x)=c1sinx+c2cosx+e^x/2   f(0)=f'(0)=1所以c2=1/2c1=1/2   f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)
何建回答:
  (-x∫(0,x)f(t)dt+∫(0,x)t*f(t)dt)'=(-x∫(0,x)f(t)dt)'+(∫(0,x)t*f(t)dt)'=(-x)'*∫(0,x)f(t)dt+(-x)*(∫(0,x)f(t)dt)'+(∫(0,x)t*f(t)dt)'=-∫(0,x)f(t)dt+(-x)*f(x)+x*f(x)=-∫(0,x)f(t)dt这里(∫(0,x)f(t)dt)'=f(x)这是积分上限求导,公式是(∫(0,g(x)h(t)dt)'=h(g(x)*(g(x))'
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