f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt=e^x-x∫(0,x)f(t)dt+∫(0,x)t*f(t)dt可知f(0)=1
求导:
f'(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt-x*f(x)+x*f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dtf'(0)=1
继续求导:
f''(x)=e^x-f(x)
f''(x)+f(x)=e^x
解这个二阶线性微分方程
通解为f(x)=c1sinx+c2cosx+e^x/2
f(0)=f'(0)=1所以c2=1/2c1=1/2
f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)
(-x∫(0,x)f(t)dt+∫(0,x)t*f(t)dt)'=(-x∫(0,x)f(t)dt)'+(∫(0,x)t*f(t)dt)'=(-x)'*∫(0,x)f(t)dt+(-x)*(∫(0,x)f(t)dt)'+(∫(0,x)t*f(t)dt)'=-∫(0,x)f(t)dt+(-x)*f(x)+x*f(x)=-∫(0,x)f(t)dt这里(∫(0,x)f(t)dt)'=f(x)这是积分上限求导,公式是(∫(0,g(x)h(t)dt)'=h(g(x)*(g(x))'