已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2)，它们在X轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物|小学数学问答-问答网

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2)，它们在X轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物

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更新时间:2024-05-02 20:03:25

问题描述：

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2)，它们在X轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标此原点.求：(1)求这三条曲线的方程(2)已知动直线L过点P(3,0)，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于X轴的直线N被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在，求出N的方程；若不存在，说明理由

孙希延回答：

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　　(1)设椭圆为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),双曲线为x²/m²-y²/n²=1(m>0,n>0),抛物线为y²=2px 　　将点M(1,2)代入抛物线方程得到p=2 　　于是抛物线为y²=4x,焦点为F1(1,0) 　　则椭圆和双曲线的焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),所以　　a²-b²=1…………① 　　m²+n²=1…………② 　　将点M(1,2)代入椭圆方程得1²/a²+2²/b²=1,整理得　　1/a²+4/b²=1…………③ 　　将点M(1,2)代入双曲线方程得1²/m²-2²/n²=1,整理得　　1/m²-4/n²=1…………④ 　　①②③④联立解得　　a²=3+2√2,b²=2+2√2,m²=3-2√2,n²=2√2-2 　　所以　　椭圆方程为x²/(3+2√2)+y²/(2+2√2)=1 　　双曲线方程为x²/(3-2√2)-y²/(2√2-2)=1 　　抛物线方程为y²=4x 　　(2)楼主的题目一定有误,直径应为AB而不是AP,否则题目没法做. 　　假设存在直线N：x=xo,因为直线AB过点P(3,0),所以可设AB的直线方程为x=uy+3 　　再设A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线AB与抛物线y²=4x联立消x得　　y²-4uy-12=0 　　由韦达定理有　　y1+y2=4u 　　y1y2=-12 　　则(2*半径)²=(x1-x2)²+(y1-y2)² 　　弦心距=|(x1+x2)/2-xo| 　　在由圆心、弦中点、弦的某一端点,三点组成的直角三角形中,由勾股定理有　　(弦长/2)²=半径²-弦心距²,代入数值得　　弦长²=(x1-x2)²+(y1-y2)²-4*[(x1+x2)/2-xo]² 　　=[(uy1+3)-(uy2+3)]²+(y1-y2)²-4*[(uy1+3+uy2+3)/2-xo]² 　　=[u(y1-y2)]²+(y1-y2)²-4*[(uy1+uy2+6)/2-xo]² 　　=(u²+1)(y1-y2)²-[u(y1+y2)+6-2xo]² 　　=(u²+1)[(y1+y2)²-4y1y2]-[u(y1+y2)+6-2xo]² 　　=(u²+1)[(4u)²-4*(-12)]-[u(4u)+6-2xo]² 　　=(u²+1)(16u²+48)-(4u²+6-2xo)² 　　=16(1+xo)u²-4xo²+24xo+12 　　要使弦长为定值,就是使弦长与u无关,所以u的系数16(1+xo)为0 　　令16(1+xo)=0,得xo=-1 　　所以存在直线N：x=-1,满足题设的条件.