将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 　　因此我们假设（总可以使三条腿同时着地） 　　（1）地面为连续曲面 　　（2）方桌的四条腿长度相同 　　（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 　　（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 　　现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中心0旋转时，对角线AC与x轴的夹角记为θ。 　　容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令f(θ)为A、C离地距离之和，g(θ)为B、D离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1），f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故f(θ)g(θ)=0必成立（θ）。不妨设f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 　　已知f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数，f(0)=0,g(0)>0且对任意θ有f(θ)g(θ)=0，求证存在某一θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。 　　（证法一）当θ=π/2时，AC与BD互换位置，故f(π/2)>0,g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(0)=f(0)-g(0)0，由连续函数的取零值定理，存在θo，0

　　椅子能在不平的地面上放稳吗？ 　　把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。 　　一、模型假设 　　对椅子和地面都要作一些必要的假设： 　　1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。 　　2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。 　　3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 　　二、模型建立 　　中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。 　　首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。 　　其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。 　　由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为，显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 　　命题已知、是的连续函数，对任意，*=0，且，则存在，使。 　　三、模型求解 　　将椅子旋转，对角线AC和BD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，，由，所以。 　　四、模型的进一步讨论 　　Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形 　　设A、B两脚与地面之和为，C、D两脚与地面距离之和为，为AC连线与x轴正向的夹角（如图2所示）。显然、，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知、至少有一个为0。当时，不妨设，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 　　命题已知、是的连续函数，对任意，*=0，且，则存在，使。 　　图2长方形椅脚 　　将椅子绕对称中心旋转180°（π），正方形ABCD变成了C’D’A’B’（如图2），即AB与CD互换，由可知。令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使，即，由，所以。 　　Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形 　　在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO与x轴正向夹角为，记A、B两脚与地面距离之和为，C、D两脚与地面距离之和为，根据假设3不妨设当时，，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为，由假设3（任意时刻椅子至少有3只脚着地）易知当，，令，则，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在,,使，即，由，所以。 　　图3不规则四边形 　　五、评注 　　模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。 　　(图形无法在此显示，需要原文，请把你的邮箱告诉我。)