【初三数学题函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?】|初中数学问答-问答网

【初三数学题函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?】

5人问答

更新时间:2024-04-26 20:27:21

问题描述：

初三数学题函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?

函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围?

钱春华回答：

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　　y=-x²+9,开口向下,对称轴x=0,与X轴交于A（-3,0）,B（3,0)两点　　过A点向右上方做射线AC,使∠CAB=45°,射线与抛物线在x轴上方交于C点；　　过A点向右下方做射线AD,使∠DAB=45°,射线与抛物线在x轴下方交于D点. 　　AC的斜率为k1=tan45°=1,AD的斜率k2=tan(-45°)=-1 　　AC与y轴交于E,AD与y轴交于F,三角形OAE和三角形OAF都是等腰直角三角形　　OE=3,OF=3 　　即AC所在直线的截距b1=3,AD所在直线的截距b2=-3 　　根据直线的斜截式　　AC所在直线方程为y=x+3,AD所在直线方程为y=-x-3 　　将y=x+3代入y=-x²+9得：x+3=-x²+9,即x²+x-6=0,(x+3)(x-2)=0,x1=-3,x2=2,A点横坐标3,∴C点横坐标为2；代入y=x+3得C点纵坐标5,即C(2,5) 　　将y=-x-3代入y=-x²+9得：-x-3=-x²+9,即x²-x-12=0,(x+3)(x-4)=0,x1=-3,x2=4,A点横坐标3,∴D点横坐标为4；代入y=-x-3得D点纵坐标-7,即D(4,-7) 　　综上,P点范围在抛物线上C(2,5)、D(4,-7)两点之间（不包含C、D两点）.

刘万崧回答：

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　　不好意思，是角APB，不是角PAB。随意解答貌似欠妥当

钱春华回答：

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　　抛物线：y=-x²+9 　　令，P点横坐标为m，则纵坐标为-m²+9=9-m² 　　PA²=(m+3)²+(9-m²)²，PA=√{(m+3)²+(9-m²)²} 　　PB²=(m-3)²+(9-m²)²，PB=√{(m-3)²+(9-m²)²} 　　AB²=（3+3)²=36 　　根据余弦定理：　　cosAPB=(PA²+PB²-AB²)/(2PA×PB) 　　={(m+3)²+(9-m²)²+(m-3)²+(9-m²)²-36}/{2×√[(m+3)²+(9-m²)²]×√[(m-3)²+(9-m²)²]} 　　∠APB＜45° 　　√2/2＜cosAPB＜1 　　{(m+3)²+(9-m²)²+(m-3)²+(9-m²)²-36}/{2×√[(m+3)²+(9-m²)²]×√[(m-3)²+(9-m²)²]}＞√2/2,并且{(m+3)²+(9-m²)²+(m-3)²+(9-m²)²-36}/{2×√[(m+3)²+(9-m²)²]×√[(m-3)²+(9-m²)²]}＜1，解不等式求得m的范围.

刘万崧回答：

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　　bingo，这是一种解法。　　问题有2，其一，这个解法过于复杂，需要庞大的计算。其二，初三学生没有学过余弦定理……

钱春华回答：

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　　额。。。初中方法？还45°？　　怀疑这是出错题了，APB不大于90°的话可能还好说。　　45°的话，还是PAB或PBA还差不多。。。

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