当∠APB=135°时,PD最大为5√2.
证明如下:
过A作AQ⊥AP,使Q、B在AP的两侧,且QA=PA,连接PQ、BQ.
由正方形ABCD得,∴AD=AB、∠DAB=90°.
∴∠PAD=∠PAB+∠DAB=90°+∠PAB=∠PAQ+∠PAB=∠QAB.
由QA=PA、AB=AD、∠QAB=∠PAD,得:△QAB≌△PAD,∴QB=PD.
∵QA=PA、QA⊥PA,∴∠APQ=45°、PQ=√2PA=4√2.
∴PQ+PB=4√2+√2=5√2.
考查点P、Q、B,在三角形PBQ中,两边之和大于第三边得:QB≦PQ+PB=5√2.
很明显,当B、P、Q在一条直线上时,QB有最大值为5√2,即此时PD有最大值.
于是:当PD取得最大值时,∠PAB=180°-∠APQ=180°-45°=135°.