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【初二数学已知三角形pab中,pa=4,pb=根号2,以ab为边向外作正方形ABCD,连接pd,当角apb变化,其它条件不变时,pd长度的最大是】
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更新时间:2024-04-27 07:32:04
问题描述:

初二数学

已知三角形pab中,pa=4,pb=根号2,以ab为边向外作正方形ABCD,连接pd,当角apb变化,其它条件不变时,pd长度的最大是

梁岚珍回答:
  当∠APB=135°时,PD最大为5√2.   证明如下:   过A作AQ⊥AP,使Q、B在AP的两侧,且QA=PA,连接PQ、BQ.   由正方形ABCD得,∴AD=AB、∠DAB=90°.   ∴∠PAD=∠PAB+∠DAB=90°+∠PAB=∠PAQ+∠PAB=∠QAB.   由QA=PA、AB=AD、∠QAB=∠PAD,得:△QAB≌△PAD,∴QB=PD.   ∵QA=PA、QA⊥PA,∴∠APQ=45°、PQ=√2PA=4√2.   ∴PQ+PB=4√2+√2=5√2.   考查点P、Q、B,在三角形PBQ中,两边之和大于第三边得:QB≦PQ+PB=5√2.   很明显,当B、P、Q在一条直线上时,QB有最大值为5√2,即此时PD有最大值.   于是:当PD取得最大值时,∠PAB=180°-∠APQ=180°-45°=135°.
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