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平面上一动点P到直线x+2=0的距离比到定点M(1,0)的距离大1.(1)求动点P的轨迹方程(2)在x轴上有一点K,过K作一条直线与(1)中的轨迹交于PQ两点,若K点的坐标为(1,0),求证:1/|PK|+1/|KQ|为
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更新时间:2024-04-27 01:47:34
问题描述:

平面上一动点P到直线x+2=0的距离比到定点M(1,0)的距离大1.

(1)求动点P的轨迹方程

(2)在x轴上有一点K,过K作一条直线与(1)中的轨迹交于PQ两点,若K点的坐标为(1,0),求证:1/|PK|+1/|KQ|为定值

第二问--

杜梦昕回答:
  1、根据题设,动点P到定点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,所以动点P的轨迹是以F为焦点以x=-1为准线的抛物线,其方程为   y²=4x;   2、设过点k(1,0)的直线方程为y=k(x-1),将之代入抛物线方程,整理得k²x²-2(k²+2)x+k²=0,   令点p(x1,y1),q(x2,y2),于是x1·x2=1,x1+x2=-2(k²+2)/k².   原式=pq/pk*kq   =(x1+x2+2)/g[(1-x1)²+y1²]g[(1-x2)²+y2²)]{带入y²=4x就能开方了}   =-4k²/(1+x1)(1+x2)   =-4k²/[2-2(k²+2)/k²]   =1(定值)
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