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【证明:算术平均数大于等于几何平均数(n次)不要数学归纳法,不要传送门,不要太高端.重复下,n次不要数学归纳法,不要传送门,不要太高端......】
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更新时间:2024-05-06 13:02:06
问题描述:

证明:算术平均数大于等于几何平均数(n次)

不要数学归纳法,不要传送门,不要太高端.

重复下,n次不要数学归纳法,不要传送门,不要太高端......

刘英学回答:
  设f(x)=e^(x-1)–x,f’(x)=e^(x-1)-1;f”(x)=e^(x-1)   f(1)=0,f’(1)=0,f”(x)>0,∴f(x)在x=1有绝对的最低值   f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0   ∴e^(x-1)≥x--------------------------------------(1)   设xi>0,i=1,n   设算术平均值a=(x1+x2+x3+…+xn)/n,a>0,   从(1),x/a≤e^(x/a-1)-------------------(2)   从(2),(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)≤e^(x1/a-1)e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)…e^(xn/a-1)   =e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]   =e^[na/a-n]=e^0=1   ∴(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n≤1   (x1*x2*x3*…*xn)≤a^n   (x1*x2*x3*…*xn)^(1/n)≤a,即算术平均数大于等于几何平均数
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