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如图,抛物线y=1/2x2-x-3/2与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧).(1)求点A和点B坐标;(2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标,判断△ABC的形状,并说明理由.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使以点O,C,P
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更新时间:2024-04-27 08:58:17
问题描述:

如图,抛物线y=1/2x2-x-3/2与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧).(1)求点A和点B坐标;(2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标,判断△ABC的形状,并说明理由.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使以点O,C,P为顶点的三角形构成等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

冯秀芳回答:
  解:(1)把y=0代入到y=1/2x2-x-3/2得,1/2x2-x-3/2=0,解得x1=3,x2=-1,∴A(-1,0),B(3,0);(2)∵y=1/2x2-x-3/2=1/2(x2-2x-3)=1/2(x2-2x+1)-2=1/2(x-1)2-2∴C(1,2),△ABC为等腰直角三角形,理由如下:∵OC为抛物线对称轴,且抛物线与x轴交于点A和B,∴OC垂直平分AB,∴AC=BC,∵A(-1,0),B(3,0),C(1,2),∴AB=3-(-1)=4,AC=√(-1-1)2+(0-2)2=√8,BC=√(3-1)2+(0-2)2=√8,∵(√8)2+(√8)2=42,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90ˆ,∴△ABC为等腰直角三角形;(3)存在,若OC为腰,∠POC为顶角,则P(1,-2);若OC为腰,∠OCP为顶角,则P(1,-2+√5)或P(1,-2-√5);若OC为底边,∠OPC为顶角,则P(1,3/4).故P点坐标为P(1,-2)或P(1,-2+√5)或P(1,-2-√5)或P(1,3/4).
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