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【一道椭圆题已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴在X轴上,F1、F2分别为其左右焦点,P是椭圆上任意一点,且向量F1P点乘向量F2P的最大值为1,最小值为2.1求椭圆C的方程2设A为椭圆C的右顶点,直线L是与椭】
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更新时间:2024-04-26 18:23:26
问题描述:

一道椭圆题

已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴在X轴上,F1、F2分别为其左右焦点,P是椭圆上任意一点,且向量F1P点乘向量F2P的最大值为1,最小值为2.

1求椭圆C的方程2设A为椭圆C的右顶点,直线L是与椭圆交与M、N两点的任意一条直线,若AM垂直AN,证明直线L过定点

刘茶回答:
  1.x^2/a^2+y^2/b^2=1   F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0)   F1P*F2P=(x0+c,y0)(x0-c,y0)   =x0^2+y0^2-c^2   =x0^2+b^2(1-x0^2/a^2)-c^2   =(c^2/a^2)x0^2+b^2-c^2   当x0^2=0,b^2-c^2=-2(题目打错了)   当x0^2=a^2,b^2=1,   c^2=3,a^2=4   x^2/4+y^2=1   2.椭圆方程与y=kx+m联立   得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0   x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)   A(2,0),M(x1,y1),N(x2,y2)   AM*AN=(x1-2,y1)(x2-2,y2)   =x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0   y1=kx1+m,y2=kx2+m   代入整理得   (k^2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m^2+4=0   代入x1+x2,x1x2   得5m^2+16km+12k^2=0   (5m+6k)(m+2k)=0   m=-2k,y=kx+m=k(x-2)舍,   m=-6k/5,y=kx+m=k(x-6/5)   直线L过定点(6/5,0)
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