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大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(4)(0)=……=f(n-1)(0)=0,证明:f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!,其中β∈(0,1)
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更新时间:2024-04-27 01:35:35
问题描述:

大学数学求证题,用柯西中值定理

设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(4)(0)=……=f(n-1)(0)=0,证明:

f(x)/x^n=f(n)(βx)/n!,其中β∈(0,1)

刘晓彬回答:
  ∵β∈(0,1)∴βx∈(0,x)又∵f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(4)(0)=……=f(n-1)(0)=0根据柯西中值定理,有f(x)/x^n=[f(x)-f(0)]/(x^n-0^n)=f'(βx)/nβ^(n-1)又根据柯西中值定理,有[f...
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