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【四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC中点求证面PDA与面EFG垂直第二问是求出P-EFG的体积】
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更新时间:2024-04-27 05:46:37
问题描述:

四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC中点求证面PDA与面EFG垂直

第二问是求出P-EFG的体积

钱晓明回答:
  解(I):如图,取AD的中点H,连接GH,FH,   ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.   ∵G,H分别为BC,AD的中点,   ∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E,F,H,G四点共面.(4分)   ∵F,H分别为DP,DA的中点,   ∴PA∥FH.   ∵PA不在平面EFG,FH⊂平面EFG,   ∴PA∥平面EFG.(6分)   (II)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,   ∴GC⊥PD.   ∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,   ∴GC⊥平面PCD.(8分)   ∵PE=1/2   PD=1,EF=1/2CD=1,∴S△PEF=1/2EF×PF=1/2.∵GC=1/2BC=1,∴VP−EFG=VG−PEF=1/3   S△PEF•GC=1/3×1/2×1=1/6
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