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【初三数学在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将制片折叠,使点D与点P,重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原.(1)请写出使四边形EPFD为菱形时的x的取值范围,】
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更新时间:2024-04-26 08:49:16
问题描述:

初三数学

在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将制片折叠,使点D与点P,重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原.

(1)请写出使四边形EPFD为菱形时的x的取值范围,并且求出当x等于2时的菱形的边长.

(2)令EF∧2,=y,当点E在AD,点F在BC上时,写出y与x的函数关系式,当y取最大值时,判断△EAP与△PBF是否相似?若相似,求出x的值;若不相似,请说明理由.

李小文回答:
  (2)当1≤x≤3时,E在AB时,F在CD上,EF和PD相互垂直平分,   ∴四边形EPFD是菱形.   x=AP=2时,设DE=EP=a,AE=2-a,AD=1,   ∴1²+(2-a)²=a²,   1+4-4a+a²=a²,   ∴a=5/4,即菱形边长为5/4.   (3)过F作FQ⊥AD交AD于Q,   由△APD∽△QEF,   ∴QF:AD=3:1,   得EF:PD=3:1,   ∵PD=√(1+x²),   ∴EF=3√(1+x²),   ∴y=EF²=9+9x².   当y最大时,F与C重合,   y最大时,EF=3DP,   设DE=EP=a,AE=1-a,   △EAP中,x²+(1-a)²=a²   ∴a=(1+x²)/2,   又a=3x,∴(1+x²)/2=3x,   ∴x²-6x+1=0,   x=3-2√2(x=3+2√2>3舍去)   a=3x=9-6√2,   AE=1-a=6√2-8,   PB=3-(3-2√2)=2√2,FB=1,   ∴AE/PB=AP/BC,   即(6√2-8)/2√2=(3-2√2)/1成立,   ∴△EAP∽△PBC.   明白吗?
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