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【设数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2,a3;(Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列;(Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn.】
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更新时间:2024-04-27 11:14:57
问题描述:

设数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1(n∈N*).

(Ⅰ)求a1,a2,a3;

(Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列;

(Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn.

金勤回答:
  (本小题满分13分)   (I)由题意,当n=1时,得2a1=a1+3,解得a1=3.   当n=2时,得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8.   当n=3时,得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18.   所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.…(3分)   (Ⅱ)证明:因为2an=Sn+2n+1,所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立.   两式相减得:2an+1-2an=an+1+2.   所以an+1=2an+2(n∈N*),即an+1+2=2(an+2).…(5分)   所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项,公比为2的等比数列.…(7分)   (Ⅲ)由(Ⅱ) 得:an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(n∈N*).   则nan=5n•2n-1-2n(n∈N*).…(8分)   设数列{5n•2n-1}的前n项和为Pn,   则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)•2n-2+5×n•2n-1,   所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5(n-1)•2n-1+5n•2n,   所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n•2n,   即Pn=(5n-5)•2n+5(n∈N*).…(11分)   所以数列{n•an}的前n项和Tn=(5n-5)•2
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