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【已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左右顶点,点M为椭圆的上顶点,且满足向量MF乘以向量FB=√2-1,(1)求椭圆C的方程(2)是否存在直线L当直线L】
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更新时间:2024-04-27 11:23:05
问题描述:

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左右顶点,

点M为椭圆的上顶点,且满足向量MF乘以向量FB=√2-1,(1)求椭圆C的方程

(2)是否存在直线L当直线L交椭圆与PQ两点时使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线方程

陈峥回答:
  (1)   e=c/a=根号2/2   a^2=2c^2   m(0,b)f(c,0)b(a,0)   mf=(c,-b)   fb=(a-c,0)   mf.fb=ca-c^2=√2-1   c=1   a^2=2   c^2=a^2-b^2=1   b^2=1   故椭圆的方程为x^2/2+y^2=1   (2)   假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F恰为△PQM的垂心,   则设P(x1,y1),Q(x2,y2),   ∵M(0,1),F(1,0),故kPQ=1,   于是设直线l为y=x+m,由   y=x+m   x^2+2y^2=2   得3x^2+4mx+2m2-2=0.   ∴MP→•FQ→=0=x1(x2-1)+y2(y1-1),   由yi=xi+m(i=1,2)得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2   -m=0,   由一元二次方程根与系数的关系得   2•2m2-23-4m3(m-1)+m2-m=0.   解得m=-43或m=1,经检验只有m=-43符合条件,则直线l的方程为y=x-43.
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