解;令x=t+2代入f(x-4)=-f(x)得f(t+2-4)=-f(t+2)
即f(t-2)=-f(t+2)
又f(x)是奇函数f(t-2)=-f(2-t)
所以-f(t+2)=-f(2-t)即f(2+t)=f(2-t)…………(1)式
即直线x=2是f(x)对称轴
对于定义域包含0的奇函数,显然有f(0)=0
也可简单算得f(-4)=-f(0)=0,f(x)以8为周期:f(-8)=0
f(4)=0,f(8)=0
(画图说明)先画[0,2]一段,可以任意画一段只要满足增函数即可注意f(0)=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f(x)是奇函数图像关于原点对称画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴画[4,8]段其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现要求f(x)=m(m>0)的解就是求y=m(m>0)与f(x)的交点
根据图你可以得到共有四个交点其中两个在区间(-8,-4)关于x=-6对称另外两个在区间(0,4)关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*(-6)+2*2=-8
参考以下:
f(x)为奇函数,f(0)=0,
f(x-4)=-f(x),f(4)=0,
f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以f(x)是周期为8的函数,f(8)=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f(x-4)=-f(x),
在区间【4,8】f(x)