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一道巨难的高考数学填空题求教,感激不尽有如图(表1)所示的3行5列的数表,其中Aij表示第i行第j列的数字,这15个数字中恰有1,2,3,4,5各3个,按预定规则取出这些数字中的部分或全部,形成一个数
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更新时间:2024-04-26 20:11:23
问题描述:

一道巨难的高考数学填空题求教,感激不尽

有如图(表1)所示的3行5列的数表,其中Aij表示第i行第j列的数字,这15个数字中恰有1,2,3,4,5各3个,按预定规则取出这些数字中的部分或全部,形成一个数列(Bn),规则如下:(1)先取出A11,并记B1=A11,若B1=j,则从第j列取出行号最小的数字,并记作B2,(2)以此类推,当Bk=j时,就从第j列取出现存行号最小的那个数记作Bk+1,直到无法进行就终止,例如由(表2)可以得到数列(Bn):1,2,4,5,3,2,5,1,3,1.试问数列(Bn)的项数恰为15的概率为

表1:表2:

A11A12A13A14A1514253

A21A22A23A24A2525141

A31A32A33A34A3533425

五分之一

求教,感激不尽

宋珂回答:
  停止的条件是取到了第三个1   原因:   按照规则,第一个取出的是A11所以第一列一开始就少一个   所以   取第一个1时第一列就只剩1个了   取第二个1时第一列就没有了   取到第三个1时游戏就结束了   所以要恰好取得15个数就必须第十五个取得的是1   这是唯一的条件   现在我增加一个游戏规则   如果游戏停止还有数剩余   则将剩余的数按第一行第二行第三行从左到右的顺序   依次添加到已取出数列的后面(如例子中就是1,2,4,5,3,2,5,1,3,1,4,3,4,2,5)   如此操作后得到了一个15个数字的数列   这样我们就将3*5的数表和15个数字的数列建立了一个一一对应的关系   那么满足条件的3*5的数表就是最后一个数字为1的数列   所以原题等价于   将1,2,3,4,5各3个排成一行,求最后一个数字恰为1的概率   这样   总的排列方式有(15A15)/(3A3)^5   满足条件的排列方式有(14A14)/[(3A3)^5*2A2]   所以P=(14A14)/[(3A3)^5*2A2]÷(15A15)/(3A3)^5=1/5
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