这是一个3天后的“零回答”题： 　　设长方体内接于半径为a的球,问何时长方体的体积最大?并求其体积. 　　长方体内接于一个球,可以证明：对棱角线必然经过球心! 　　因为长方体对面全等,任何两个相对面在其外接球上截取的球冠都是全等的. 　　故球的球心和其内接长方体的中心必然重合. 　　设长方体的长宽高分别为x,y,z,则 　　长方体体积V=xyz, 　　√[x^2+y^2+z^2]=2a, 　　x^2+y^2+z^2=4a^2, 　　z=√[4a^2-x^2-y^2], 　　V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2], 　　先证明：在长方形内,当对角线固定等于b,长方形面积最大的时候是长等于其宽,即对角线一定的正方形的面积最大. 　　√[x^2+y^2]=b,y=√[b^2-x^2], 　　S=xy=x√[b^2-x^2], 　　dS/dx=√[b^2-x^2]+x{0.5*[b^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}= 　　=√[b^2-x^2]-x^2/√[b^2-x^2]= 　　=[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2], 　　dS/dx=0时,S才有可能有极值,进而才可能有极大值, 　　[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2]=0, 　　长方形的一个边长不可能等于对角线长,即x^2≠b^2, 　　2x^2=b^2,x=√2b/2, 　　因为这是实际问题,面积极值也是极大值、最大值, 　　也就是在长方形对角线长固定时,正方形的面积最大. 　　运用到这个球内接长方体问题中,长方体底面最大时是长和宽相等时, 　　V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2]=x^2√[4a^2-2x^2]=√2x^2√[2a^2-x^2], 　　dV/dx=2√2x√[2a^2-x^2]+√2x^2{0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)= 　　=2√2x√[2a^2-x^2]-√2x^3/√[2a^2-x^2]= 　　={2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2], 　　dV/dx=0,V才可能有极值,进而才可能有极大值、最大值, 　　{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]=0, 　　2a^2-x^2不可能等于0, 　　2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3=0, 　　x≠0, 　　2[2a^2-x^2]-x^2=0, 　　4a^2-3x^2=0, 　　x^2=4a^2/3, 　　x=2√3a/3, 　　这是个实际问题,x不可能为0,V只能有极大值,不可能取极小值, 　　【也可以求V对x的二阶导数,当二阶导数小于0时,V具有极大值： 　　d^2V/dx^2=d{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]/dx= 　　=d{[2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx= 　　=d{[4√2a^2x-3√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx= 　　={[4√2a^2-9√2x^2]√[2a^2-x^2]-[4√2a^2x-3√2x^3]*0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}/√[2a^2-x^2]= 　　=[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2], 　　V要具有极大值,d^2V/dx^2