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设函数f(X)=lnx-1/2ax^2-bx1.当a=b=1/2时,求f(x)的最大值2.另F(x)=f(x)+1/2ax^2+bx+a/x(0<x≤3)以其图像上任意一点P(x0,y0)为切点的斜率k≤1/2恒成立,求实数a的取值范围3.当a=0,b=-1时,方程2mf(X)=x^2有唯
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更新时间:2024-04-23 12:21:24
问题描述:

设函数f(X)=lnx-1/2ax^2-bx

1.当a=b=1/2时,求f(x)的最大值

2.另F(x)=f(x)+1/2ax^2+bx+a/x(0<x≤3)以其图像上任意一点P(x0,y0)为切点的斜率k≤1/2恒成立,求实数a的取值范围

3.当a=0,b=-1时,方程2mf(X)=x^2有唯一实数解,求正数m的值.

林绍文回答:
  f(x)=lnx-1/4x^2-1/2x,x>0   求导得f'(x)=1/x-1/2x-1/2;   f''(x)=-1/x^2-1/2=x-x^2/2,   x-x^2/2在(0,3]最大值1/2,   所以a>=1/2.   3.方程2mf(x)=x²有唯一实数解   即x²=2m(lnx+x)有唯一实根   令g(x)=x²-2mlnx-2mx,(x>0)   则g'(x)=2x-2m/x-2m   令g'(x)=0,则x²-mx-m=0……①   x=(m+√(m²+4m))/2>m   当x→0时,g(x)>0   而函数g(x)在(0,+∞)上先减后增,要使g(x)=0有唯一实根,   则g(m/2+√(m²+4m)/2)=0   g(x)=x²-2mlnx-2mx=0……②   联立方程①②得lnx=x-1   数形结合思想:x=1   故(m+√(m²+4m))/2=1   解方程得m=1/2.   以上答案借助网上两位网友的结果整理修改而成,希望对你有点帮助!
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