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已知函数y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2(a属于R,a不等于0),求y的最小值Y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2=(e^x)^2-2ae^x+a^2+(e^(-x))^2-2ae^(-x)+a^2=(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2设t=e^x+e^(-x)Y=t^2-2at+2a^2-2t>=2=(t-a)^
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更新时间:2024-04-23 12:21:42
问题描述:

已知函数y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2(a属于R,a不等于0),求y的最小值

Y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2

=(e^x)^2-2ae^x+a^2+(e^(-x))^2-2ae^(-x)+a^2

=(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2

设t=e^x+e^(-x)

Y=t^2-2at+2a^2-2t>=2

=(t-a)^2+a^2-2

所以,函数(t-a)^2+a^2-2的对称轴是t=a

a=2

y(min)=a^2-2

鲁佳琪回答:
  根据:(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≥0→m^2+n^2≥2mn(m,n属于R)当m=n时取“=”   所以:y≥2(e^x-a)×(e^(-x)-a)=2[1+a^2-a(e^x+e^(-x)]当e^x-a=e^(-x)-a时取“=”,即x=0时,y最小=2a^2
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