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在斜棱柱ABC_A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°侧面BB1C1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,二面角A-B1B-C为30°.(1)求证AC⊥平面BB1C1C;(2)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值;(3)在平面AA1B1B内找
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更新时间:2024-04-17 02:40:19
问题描述:

在斜棱柱ABC_A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°侧面BB1C1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,二面角A-B1B-C为30°.(1)求证AC⊥平面BB1C1C;(2)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值;(3)在平面AA1B1B内找一点P,使三棱锥P-BB1C为正三棱锥,并求该棱锥底面BB1C上的高

杜永萍回答:
  1.证明:∵,∠ACB=90   ∴AC⊥BC   ∵侧面BB1C1C⊥底面ABC   ∴AC⊥平面BB1C1C   2.过C作CD⊥BB1于D,连接AD   ∵AC⊥平面BB1C1C   ∴AC⊥BB1,AC⊥CD   ∴BBI⊥面ACD,∠ACD=90°   ∴AD⊥BB1   ∴∠ADC是二面角A-B1B-C   ∴∠ADC=30°   ∵侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°   ∴CD=2*sin60°=根号3   ∴AC=CD*tan∠ADC=根号3*tan30°=1   ∵AC⊥平面BB1C1C   ∴∠AB1C是AB1与平面BB1C1C所成角,AC⊥B1C   ∵A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°   ∴B1C=2   ∴tan∠AB1C=AC/B1C=1/2   ∠∠∠∠
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