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【一道数学三角形证明题若三角形中有一个角等于30度,且这个角所对的边是最长边的一半,那么这个三角形是不是Rt三角形,如果是,给出证明,如果不是请举出反例(要附图).】
1人问答
更新时间:2024-05-01 18:44:14
问题描述:

一道数学三角形证明题

若三角形中有一个角等于30度,且这个角所对的边是最长边的一半,那么这个三角形是不是Rt三角形,如果是,给出证明,如果不是请举出反例(要附图).

齐锐回答:
  证:设△为ABC,BC为最长的边=a,∠B=30°,AC=b=BC/2=a/2,AB=c   因为BC为△ABC最长的边,所以一定可以过A点作AD⊥BC,交BC于D点,且D点一定在BC之间.   在直角△ABD中,AD=AB*sinB=c*sin30°=c/2,BD=c*cos30°=√3*c/2   CD=a-BD=a-√3*c/2   在直角△ACD中,根据勾股定理,得   AC^2=AD^2+CD^2   (a/2)^2=(c/2)^2+(a-√3*c/2)^2   4c^2-4√3*ac+3a^2=0   (2c-√3*a)^2=0   2c-√3*a=0   c=√3*a/2   在△ABC中,AC=a/2,BC=a,AB=√3*a/2   AC^2+AB^2=(a/2)^2+(√3*a/2)^2=a^2=BC^2   即AC^2+AB^2=BC^2   根据勾股定理,可知△ABC为直角△
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