如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求AA1AB的值．|其它问答-问答网

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如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求AA1AB的值．

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更新时间:2024-05-02 10:17:27

问题描述：

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．

（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；

（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求AA1AB的值．

韩镇回答：

　　证明：（1）取A1C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．　　则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA1C1C且交于AC，∴BF⊥AC，　　BF⊥面AA1C1C，∴DE⊥面AA1C1C 　　而DE⊂面DA1C，所以平面DA1C⊥平面AA1C1C．　　（2）延长DA1交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA1B1C 　　过B作BH⊥A1G于H，边CH，则A1G⊥CH，　　所以∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角．　　设AA1=2b，AB=BC=a，在直角三角形A1AG中，AB=BG，　　在直角三角形DBG中，HB=BD•BGDG

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