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设函数f(x)=ax-(a+1)In(x+1),其中a不等于0或-1当a>0时,设f(x)的最小值为g(a),证明不等式-1/a
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更新时间:2024-04-27 14:01:06
问题描述:

设函数f(x)=ax-(a+1)In(x+1),其中a不等于0或-1

当a>0时,设f(x)的最小值为g(a),证明不等式-1/a

汤祥州回答:
  请问楼主是高三还是高二的?   学过导数吗?这个题好像可以用导数解的.   可惜我是高二的,我们还没有学到那里.   现在,检查一下我预习的成果:   证明(主要是思路):   先求f(x)的导数,   得到f'(x)=a-(a+1)/(x+1)   使f'(x)=0解得x=1/a,得到x=1/a为f(x)的极值,此时需判断此极值是否为极小值(可以用列表法).   我用了f(x)的二阶导数判断f'(x)在x=1/a时的斜率,估计二阶导数高中不学了:   推出f'(1/a)>0,得到x=1/a为f(x)的极小值.   这时可以确定,   f(x)在(0,1/a)上为单调减函数;   f(x)在(1/a,+∞)上为单调增函数;   综上结论,可以得到,x=1/a时,f(x)取得(0,+∞)上最小值.   此时,得出f(1/a)=g(a).   整理得到:   f(1/a)=1-(a+1)*ln(1+1/a)=g(a)   此时,判断g(a)与-1/a的大小关系.   即若g(a)>-1/a1+1/a-(a+1)*ln(1+1/a)>0成立,则命题成立.   再整理得:   若1/a>ln((1+a)/a)成立时,得证.   可以再次用导数证明这个不等式.   或者用泰勒公式最简单!
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