设两个函数是f(x)和g(x),又设F(x)=f(x)+g(x)
1.若f(x)与g(x)都是偶函数,则
f(-x)=f(x)g(-x)=g(x)
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)
∴F(x)是偶函数,即两个偶函数之和是偶函数
2.若f(x)与g(x)都是奇函数,则
f(-x)=-f(x)g(-x)=-g(x)
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
∴F(x)是奇函数,即两个奇函数之和是奇函数.
3.实际上,同样的证明方法还能证出:
(1)两个偶函数之积是偶函数
(2)两个奇函数之积是偶函数