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函数的定义域都是对称区间(-l,l)证明两个偶数之和是偶数,两个奇数之和是奇数.
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更新时间:2024-04-17 01:08:57
问题描述:

函数的定义域都是对称区间(-l,l)证明两个偶数之和是偶数,两个奇数之和是奇数.

廖晓峰回答:
  设两个函数是f(x)和g(x),又设F(x)=f(x)+g(x)   1.若f(x)与g(x)都是偶函数,则   f(-x)=f(x)g(-x)=g(x)   ∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)   ∴F(x)是偶函数,即两个偶函数之和是偶函数   2.若f(x)与g(x)都是奇函数,则   f(-x)=-f(x)g(-x)=-g(x)   ∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)   ∴F(x)是奇函数,即两个奇函数之和是奇函数.   3.实际上,同样的证明方法还能证出:   (1)两个偶函数之积是偶函数   (2)两个奇函数之积是偶函数
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