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已知定圆F1:(x+5)^2+y^2=49,定圆F2:(x-5)^2+y^2=1,动圆M与定圆F1F2都外切.求动圆圆心M的轨迹方程;(2)直线L与轨迹C相交于A,B两点,且A,B的中点为(9,4),求直线L的方程
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更新时间:2024-05-02 11:01:55
问题描述:

已知定圆F1:(x+5)^2+y^2=49,定圆F2:(x-5)^2+y^2=1,动圆M与定圆F1F2都外切.求动圆圆心M的轨迹方程;

(2)直线L与轨迹C相交于A,B两点,且A,B的中点为(9,4),求直线L的方程

兰长青回答:
  (1)两个定圆的圆心为F1(-5,0),F2(5,0),半径分别为7和1,设动圆圆心M(x,y),半径为r,   则由条件,得 |MF1|=7+r,|MF2|=1+r,   从而 |MF1|-|MF2|=6,   由双曲线定义知,M的轨迹是以F1,F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,   于是 a=3,c=5,b²=c²-a²=16,M的轨迹方程为   x²/9-y²/16=1,x>0   (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则   16x1²-9y1²=144   16x2²-9y2²=144   相减,得16(x2-x1)(x1+x2)-9(y2-y1)(y1+y2)=0   即 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=16(x1+x2)/9(y1+y2)=4,   从而L的方程为 y-4=4(x-9),即 4x-y-32=0
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