．以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点A的坐标和k的值；（2）求点C坐标；（3）直线y=x在第一象限内的图象上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？如果
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更新时间:2024-04-17 22:52:59
问题描述：
．以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求点C坐标；
（3）直线y=x在第一象限内的图象上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．
崔鑫回答：
，∴OA=1，即A（-1，0），
将x=-1，y=0代入直线解析式得：0=-k+2，即k=2；
（2）过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=1，即OM=OA+AM=1+2=3，
∴C（-3，1）；
（3）假设存在点P使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，在直线y=x第一象限上取一点P，连接BP，AP，
设点P（m，m），
∴S△ABP=S△ABO+S△BPO-S△AOP=1+m-m=1+m，而S△ABC=AB•AC=AB2=（12+22）=，
可得1+m=，
解得：m=2，
则P坐标为（2，1）．
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