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关于通过极坐标积分求抛物线弧长首先求教一点----极坐标中长度关于角度的积分是不是弧长?如果是这一点,请帮我看看我的积分哪里错了.1.求y=ax^2从0到m的积分,设过原点的直线为y=kx.其中k=tan
4人问答
更新时间:2024-04-17 20:13:16
问题描述:

关于通过极坐标积分求抛物线弧长

首先求教一点----极坐标中长度关于角度的积分是不是弧长?如果是这一点,请帮我看看我的积分哪里错了.1.求y=ax^2从0到m的积分,设过原点的直线为y=kx.其中k=tan&(姑且让我这么用吧)得到抛物线极坐标x=k/ay=k^2/a接着求改点到原点距离d=(x^2+y^2)^0.5我化简得到了sin&/(cos&)^2接着我求这个东西从0到arctan(ax)的积分.得到l=1/(acos&)如果不急着吧tan代人,我们知道1/(cos&)^2=tan^2&+1则最终得到了l=(a^2x^2+1)^0.5/a-1/a验算时就发现如果a=1那么这个东西在0到(1,1)的长度比直线距离还短,所以我很郁闷.请问这个思路有什么问题吗?还是计算出错了?如果知道,请顺便告诉我抛物线弧长公式,至少我可以慢慢推.

金基平回答:
  曲线y从a到b的弧长公式s=∫(a,b)√(1加y'^2)dx
刘欣阳回答:
  我研究过这种积分方法,但有个问题。这个积分并不表示弧长。把两点距离关于x进行积分(想啥呢,量纲都不对啊,如果放到物理里面,x单位是m,那平方再开方,量纲就是m,再积分得到的就是m^2了,求面积?.......)这个函数可以化简为x*√(1+x^2)dx得到原函数是(√1+x^2)^1.5/3但是悲剧的是我也验算过,结果也是弧长还没两点距离长...这个积分你认为有什么意义吗?积分是二者的单位之积,根本就不是长度啊..
金基平回答:
  粗略解释下:在曲线上取两点S1,S2,其距离为Δs,Δs²=Δx²+Δy²取极限得:ds²=dx²+dy²于是ds=√(1+y'^2)dxs=∫(a,b)ds
刘欣阳回答:
  哈,最近研究曲率推出来了,谢谢啊.....不过至今才明白,极坐标公式不能用来积分.
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