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设数列{An}的前n项和为Sn,已知B*An-2的n次方=(b-1)Sn(1)证明:当b=2时,{An-n*2的(n-1)次方}是等比数列(2)求An的通项公式
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更新时间:2024-04-17 19:29:36
问题描述:

设数列{An}的前n项和为Sn,已知B*An-2的n次方=(b-1)Sn

(1)证明:当b=2时,{An-n*2的(n-1)次方}是等比数列

(2)求An的通项公式

刘士平回答:
  1,2an-2^n=Sn(1)2a1-2=S1=a1a1=2   n>=2时,2a(n-1)-2^n=S(n-1)(2)   (1)-(2):2an-2a(n-1)-2^(n-1)=anan=2a(n-1)+2^(n-1)an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1/2   {an/2^n}是首项为1、公差为1/2的等差数列.an/2^n=1+(n-1)/2=n/2+1/2an=n*2^(n-1)+2^(n-1)   an-2^(n-1)=2^(n-1),所以{an-2^(n-1)}是首项为1、公比为2的等比数列.   2,ban-2^n=(b-1)Sn(3)ba1-2=(b-1)S1=(b-1)a1a1=2   n>=2时,ba(n-1)-2^(n-1)=(b-1)S(n-1)(4)   (3)-(4):ban-ba(n-1)-2^(n-1)=ban-anan=ba(n-1)+2^(n-1)   an+2^n/(b-2)=b[a(n-1)+2^(n-1)/(b-2)]   所以,{an+2^n/(b-2)}是首项为2+2/(b-2)、公比为b的等比数列.   an+2^n/(b-2)=[2+2/(b-2)]b^(n-1)an=[2+2/(b-2)]b^(n-1)-2^n/(b-2)(=1,2,3,……,)
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