【求证：几个复数模的乘积=乘积的模半小时内给出答案，追加10分】
4人问答
更新时间:2024-04-17 19:18:53
问题描述：
求证：几个复数模的乘积=乘积的模
半小时内给出答案，追加10分
李仲荣回答：
z=a+bi=√(a^2+b^2)*e^(ix)
|z1*z2|=|√(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)*e^(ix1)*e^(ix2)|
=|√(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)|
=|√(a1^2+b1^2)||(a2^2+b2^2)|
=|z1||z2|
齐国胜回答：
x=a+bi,y=c+di
xy=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
|xy|=根号（(ac-bd)^2+(ad+bc)^2）=根号[a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2]
|x|*|y|=根号（a^2+b^2）*根号（c^2+d^2）=根号[a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2]
|xy|=|x|*|y|
所以：
|xyz|=|x|*|yz|=|x|*|y|*|z|，可推广到更多……
故：几个复数模的乘积=乘积的模。
李彦琴回答：
z1=a+bi
z2=c+di
|z1|*|z2|=√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)=√[(a^2+b^2)(c^2+d^2)]
|z1z2|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=√[(ac-bd)^2+(ad+bc)^2]
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2
=a^2c^2+b^2c^2+b^2d^2+a^2d^2
=c^2(a^2+b^2)+d^2(a^2+b^2)
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
所以|z1|*|z2|=|z1*z2|
则若3个数z1,z2,z3
同样道理
把z1*z2看作一个数
则|z1z2z3|=|z1z2|*|z3|=|z1|*|z2|*|z3|
所以n和数也一样
石中锁回答：
先证两个复数的模的积等于两个复数的积的模，上面已经有人给了证明
然后用数学归纳法推广到n个复数的情况
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