（2014•广州模拟）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求三棱锥F-AB
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更新时间:2024-04-25 06:43:31
问题描述：
（2014•广州模拟）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求三棱锥F-ABE的体积．
彭瑜回答：
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC …（3分）
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=22
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