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1xn+2x(n-1)+3x(n-2)+...+nx1=16[n(n+1)(n+2)]用数学归纳法证明
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更新时间:2024-05-05 03:15:35
问题描述:

1xn+2x(n-1)+3x(n-2)+...+nx1=16[n(n+1)(n+2)]用数学归纳法证明

罗志安回答:
  ①当n=1时,左边=1=右边显然成立.   ②假设当n=k时等式成立,则当n=k+1时,有   左边=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+……+(n-1)*2+n*1   =1*(k+1)+2*k+3*(k-1)+……+k*2+(k+1)*1   =1*k+1+2*(k-1)+2+3*(k-2)+3+……+k*1+k+k+1   =1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+……+(k-1)*2+k*1+1+2+3+……+k+(k+1)   =[k(k+1)(k+2)]/6+(k+1)(k+2)/2注意:这一步左边一半用的是归纳假设,右一半是等差数列   =[(k+1)(k+2)(k+3)]/6   =[n(n+1)(n+2)]/6   =右边成立   则由数学归纳法知,对于任意正整数n,该式成立.
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