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【已知数列an是首项与公比均为1/3的等比数列,数列bn的前n项和Bn=1/2(n²+n)设anbn的前n项和为sn,求证1/3≦sn≦3/4,】
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更新时间:2024-05-05 06:30:45
问题描述:

已知数列an是首项与公比均为1/3的等比数列,数列bn的前n项和Bn=1/2(n²+n)

设anbn的前n项和为sn,求证1/3≦sn≦3/4,

杜志泉回答:
  an=(1/3)^n,Bn=n(n+1)/2,bn=Bn-Bn-1=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n   anbn=(1/3)^n*n   Sn=1/3*1+(1/3)^2*2+(1/3)^3*3+.+(1/3)^(n-1)*(n-1)+(1/3)^n*n(1)   (1)式两边乘以1/3   1/3Sn=(1/3)^2*1+(1/3)^3*2+(1/3)^4*3+.+(1/3)^n*(n-1)+(1/3)^(n+1)*n(2)   (1)式-(2)式,得   2/3Sn=[1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+.+(1/3)^n]-(1/3)^(n+1)*n   =1/3[1-(1/3)^n]/(1-1/3)-(1/3)^(n+1)*n   =1/2-(1/2+n/3)(1/3)^n   Sn=3/4-(3/4+n/2)(1/3)^n=1/3   所以1/3
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