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已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)求证:1.3∈A.2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
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更新时间:2024-04-18 00:28:12
问题描述:

已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)

求证:1.3∈A.

2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.

李娜回答:
  证明:第一问:当m=2,n=1时,x=3,显然结论成立   第二问:假设存在这样的数使得x=m²-n²=4k-2   那么(m+n)(m-n)=4k-2=2(2k-1)   可以发现((m+n)(m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数,因为2k-1无论怎么因式分解都不会产生偶数   假设m+n为奇数,那么m、n中必定是一个奇数、一个偶数,则m-n同样是奇数,那么两者乘积肯定为奇数,与假设矛盾   假设m+n为偶数,那么m、n要么同为奇数、要么同为偶数,m-n也是必定为偶数,但是这与之前的结论矛盾((m+n)(m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数)
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