大多数人最为熟悉的数有两种,即正数（＋5, 　　＋17．5）和负数（－5,－17．5）.负数是在中世 　　纪出现的,它用来处理3－5这类问题.从古代人看来,要 　　从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的.但是,中世纪 　　的商人却已经清楚地认识到欠款的概念.“请你给我五个苹 　　果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱.” 　　这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）. 　　正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘.正数乘 　　正数,其乘积为正.正数乘负数,其乘积为负.最重要的是, 　　负数乘负数,其乘积为正. 　　因此,（＋1）×（＋1）＝（＋1）； 　　（＋1）×（－1）＝（－1）； 　　（－1）×（－1）＝（＋1）. 　　现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1?或者用 　　数学语言来说,＋1的平方根是多少? 　　这一问题有两个答案.一个答案是＋1,因为（＋1） 　　×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1,因为（－1） 　　×（－1）＝（＋1）.数学家是用√￣（＋1）＝±1来 　　表示这一答案的.（碧声注：（＋1）在根号下） 　　现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是 　　多少? 　　对于这个问题,我们感到有点为难.答案不是＋1,因 　　为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1,因为－1的自乘同 　　样是＋1.当然,（＋1）×（－1）＝（－1）,但这是 　　两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘. 　　这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号, 　　譬如说＃1,而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出 　　－1的数,即（＃1）×（＃1）＝（－1）.当这种想法 　　刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为 　　这种数在他们所习惯的数系中并不存在.实际上,这种数一 　　点也不比普通的“实数”更为虚幻.这种所谓“虚数”具有 　　一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理. 　　但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给 　　这种数一个专门的符号“i”(imaginary).我们可以把正 　　虚数写为（＋i）,把负虚数写为（－i）,而把＋1看作 　　是一个正实数,把（－1）看作是一个负实数.因此我们可 　　以说√￣（－1）＝±i. 　　实数系统可以完全和虚数系统对应.正如有＋5, 　　－17．32,＋3／10等实数一样,我们也可以有 　　＋5i,－17．32i,＋3i／10等虚数. 　　我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来. 　　假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数 　　系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧 　　的就是负实数. 　　这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线 　　时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来.第二条直 　　线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数. 　　这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所 　　有的数都表示出来.例如（＋2）＋（＋3i）或 　　（＋3）＋（－2i）.这些数就是“复数”. 　　数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数 　　字系统彼此联系起来是非常有用的.如果没有所谓虚数,他 　　们就无法做到这一点了.