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求一道数学题(应该是相似的吧)在三角形ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,求证:1/AB+1/AC=1/BC
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更新时间:2024-05-12 23:58:19
问题描述:

求一道数学题(应该是相似的吧)

在三角形ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,

求证:1/AB+1/AC=1/BC

梁寒冬回答:
  ∠A:∠B:∠C=1:2:4,   A=π/7   B=2π/7   C=4π/7   1/sinB+1/sinC   =(sinB+sinC)/(sinBsinC)   =4sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]/[cos(B-C)-cos(B+C)]   =4sin(3π/7)cos(π/7)/[cos(2π/7)-cos(6π/7)]   =4sin(3π/7)cos(π/7)/[cos(2π/7)+cos(π/7)]   =2sin(3π/7)cos(π/7)/[cos(3π/14)cos(π/14)]   =2sin(3π/7)cos(π/7)/[cos((3π/14)sin(3π/7)]   =2cos(π/7)/[cos((3π/14)]   =2cos(π/7)sin(π/7)/[sin(π/7)cos(3π/14)]   =sin(2π/7)/[sin(π/7)cos(3π/14)]   =cos(3π/14)/[sin(π/7)cos(3π/14)]   =1/sin(π/7)   =1/sinA   1/sinB+1/sinC=1/sinA   由正弦定理   1/AB+1/AC=1/BC
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