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(1)在一次数学探究活动中,陈老师给出了一道题.如图1,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.小强在解决此题时,是将△APC绕C旋转到△CBE
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更新时间:2024-05-03 16:18:59
问题描述:

(1)在一次数学探究活动中,陈老师给出了一道题.

如图1,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.

小强在解决此题时,是将△APC绕C旋转到△CBE的位置(即过C作CE⊥CP,且使CE=CP,连接EP、EB).你知道小强是怎么解决的吗?

(2)请根据(1)的思想解决以下问题:

如图2所示,设P是等边△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.

潘国华回答:
  (1)如图1,由题意得:∠PCE=90°   PC=EC=2;BE=PA=3;   由勾股定理得:PE2=22+22=8;   ∵PB2=1,BE2=9,   ∴BE2=PE2+PB2,   ∴∠BPE=90°,   ∵∠CPE=45°,   ∴∠BPC=135°.   (2)如图2,将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置,连接PQ;   则AP=AQ,∠PAQ=60°,QC=PB=4;   ∴△APQ为等边三角形,∠AQP=60°,PQ=PA=3;   ∵PQ2+CQ2=32+42=25,PC2=52=25,   ∴PQ2+CQ2=PC2,   ∴∠PQC=90°,∠AQC=60°+90°=150°,   ∴∠APB=∠AQC=150°.
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