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【如图,F是椭圆的左焦点,A,B分别是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为,点C在x轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线相切(1)求椭圆的方程;(2)过点A的直线l2与圆M交于P,Q两点】
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更新时间:2024-05-12 10:31:45
问题描述:

如图,F是椭圆的左焦点,A,B分别是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为,点C在x轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线相切

(1)求椭圆的方程;

(2)过点A的直线l2与圆M交于P,Q两点,且,求直线l2的方程.

刘志华回答:
  (1)因为椭圆的离心率为,所以,所以,故,所以BC得方程为,由此入手能得到所求的椭圆方程.   (2)因为,所以∠PMQ=120°.所以M到直线l2的距离等于1.依题意,直线l2的斜率存在,设直线l2:y=k(x+2),所以,由此能得到所求的直线l2的方程.   【解析】   (1)因为椭圆的离心率为,所以,即(2分)   所以A(-2c,0),,故,   所以BC得方程为(4分)   令y=0,得x=3c,即C(3c,0),所以圆M的半径为,圆心M(c,0)   因为圆M恰好与直线相切,   所以=2c,∴c=1,∴a=2,b=   故所求的椭圆方程为(8分)   (2)因为,   所以∠PMQ=120°.所以M到直线l2的距离等于1(11分)   依题意,直线l2的斜率存在,设直线l2:y=k(x+2),即kx-y+2k=0   所以,解得,   故所求的直线l2的方程为(15分)
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