证明:f(x)的导数f'(x)≥2设函数f(x)=e的x次方-e的-x次方.证明若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围
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更新时间:2024-04-19 21:26:26
问题描述：
证明:f(x)的导数f'(x)≥2
设函数f(x)=e的x次方-e的-x次方.证明若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围
李环回答：
证明:
f'(x)=e^x+e^(-x)>0
[e^x-e^(-x)]^2≥0
e^(2x)+e^(-2x)≥2
[f'(x)]^2=[e^x+e^(-x)]^2=e^(2x)+e^(-2x)+2≥4
f'(x)≥2
设g(x)=f(x)-ax=e^x-e^(-x)-ax
x≥0时,有g'(x)≥0
g'(x)=e^x+e^(-x)-a≥0
由第一问证明知e^x+e^(-x)≥2
因此a≤2
a的取值范围为(-∞,2]
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