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在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,…,这些数叫做三角形数,其通项为n(n+1)2,前n项和为sn=n(n+1)(n+2)6,如下图所示,有一列三角形数表,其位于三角形的三边及平行于某
1人问答
更新时间:2024-05-11 11:07:58
问题描述:

在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,…,这些数叫做三角形数,其通项为n(n+1)2,前n项和为sn=n(n+1)(n+2)6,如下图所示,有一列三角形数表,其位于三角形的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列,依次记各三角形数表中的所有数之和为an,则a1=0+2+64=2(1+3)4=2,a2=0+3+9+189=3(1+3+6)9=103.

(1)求a3,a4,并写出an的表达式;

(2)令bn=anan+1+an+1an,证明2n<b1+b2+b3+…+bn<2n+2(n∈N*).

白凤翔回答:
  (1)∵a1=0+2+64=2(1+3)4=2,a2=0+3+9+189=3(1+3+6)9=103,∴a3=4S416=S44=5,a4=S55=7,⇒an=Sn+1n+1=(n+2)(n+3)6.(2)bn=(n+2)(n+3)66(n+3)(n+4)+(n+3)(n+4)66(n+2)(n+3)=2+2(1n+2−1n+4),⇒b1+...
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