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(2010•乐山)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自
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更新时间:2024-05-04 07:55:11
问题描述:

(2010•乐山)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.

请解答下列问题:

(1)S1=   ;

(2)通过探究,用含n的代数式表示Sn,则Sn=   .

何存富回答:
  根据正方形的面积公式求出面积,再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边,求出S1,然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式.   【解析】   (1)∵第一个正方形的边长为1,   ∴正方形的面积为1,   又∵直角三角形一个角为30°,   ∴三角形的一条直角边为,另一条直角边就是=,   ∴三角形的面积为÷2=,   ∴S1=1+;   (2)∵第二个正方形的边长为,它的面积就是,也就是第一个正方形面积的,   同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的,   ∴S2=(1+)•,依此类推,S3=(1+)••,即S3=(1+)•,   Sn=()•(n为整数).
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