已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点(-根号2,1),长轴长为2根号5,过点C(-1,0)
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更新时间:2024-05-03 06:57:12
问题描述：
已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点(-根号2,1),长轴长为2根号5,过点C(-1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点AB。
求椭圆方程。
在线等
宋恩彬回答：
由题意知a^2-b^2=1，将点（-1，√2/2）代入椭圆方程得1/a^2+1/2b^2=1解得，椭圆方程为x^2/2+y^2=1设点A（x1，y1），B（x2,y2），则QA=（x1-5/4,y1），QB=（x2-5/4,y2）（1）若直线l斜率为零，点A,B分别为（-√2，0）（√2，0）此时向量之积为-7/16（2）若直线斜率不为0，则设直线方程为x=ky+1与椭圆方程联立，得，（k^2+2）y^2+2ky-1=0则有y1+y2=-2k/(k^2+2)y1·y2=-1/(k^2+2)则x1+x2=k(y1+y2)+2x1·x2=k^2y1·y2+k(y1+y2)+1则有，QA·QB=（k^2+1）y1·y2-k/4(y1+y2)+1/16=-(k^2+1)/(k^2+2)+k/4·2k/(k^2+2)+1/16=-7/16综上所述，两向量之积为定值，-7/16
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