已知a^2+b^2=1求a^2+2ab-b^2的最小值.
1人问答
更新时间:2024-05-11 21:40:25
问题描述：
已知a^2+b^2=1
求a^2+2ab-b^2的最小值.
毛迪林回答：
因为a^2+b^2=1,所以可以令a=cosx,b=sinx.其中x属于[0,2pi),pi是圆周率.则
a^2+2ab-b^2
=(cosx)^2+2cosxsinx-(sinx)^2(用倍角公式)
=cos2x+sin2x
=根号2*sin(2x+pi/4)
>=-根号2
因为2x+pi/4属于[pi/4,17pi/4),所以sin(2x+pi/4)可以取到最小值-1,此时2x+pi/4=3pi/2,从而x=5pi/8,对应地可以求出
a=cos(5pi/8),b=sin(5pi/8).
综上,a^2+2ab-b^2的最小值是-根号2.
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