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试比较2n+2与n2的大小(n∈Z+),并用数学归纳法证明你的结论.
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更新时间:2024-05-10 23:58:52
问题描述:

试比较2n+2与n2的大小(n∈Z+),并用数学归纳法证明你的结论.

董耀荣回答:
  当n=1时,左端=4,右端=1,左端>右端;   当n=2时,左端=6,右端=4,左端>右端;   当n=3时,左端=10,右端=8,左端>右端;   于是可猜测:2n+2>n2(n∈N*).   证明::①当n=1、2、3时,均有左端>右端,不等式成立;   ②假设n=k(k≥3,k∈N*)时不等式成立,即2k+2>k2;   则当n=k+1时,   左边=2k+1+2=2×(2k+2)-2>2k2-2=k2+k2-2,   右边=(k+1)2=k2+2k+1,   ∵k2+k2-2-(k2+2k+1)=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,   ∴当k≥3时,k2+k2-2≥(k+1)2,   即当n=k+1时,2k+1+2>(k+1)2,不等式成立;   综上所述,2n+2>n2(n∈N*).
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