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初中数学函数几何综合题如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=a(a为锐角),当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合位置开始,按逆时针
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更新时间:2024-04-15 15:30:39
问题描述:

初中数学函数几何综合题

如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=a(a为锐角),当∠MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合位置开始,按逆时针方向旋转(∠PMN保持不变)时,M、N在射线OB上同时以相同速度向右平行移动,设OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面积为S.若sina=3/2、OP=2.(1)当∠MPN旋转30°即∠OPM=30°时,求点N移动的距离;(2)求证:△OPN相似于△PMN;(3)写出y与x之间的关系式;(4)式写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

石祥斌回答:
  (1)△OPN∽△PMN.证明:在△OPN和△PMN中,∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,∴△OPN∽△PMN;(2)∵MN=ON-OM=y-x,∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.过P点作PD⊥OB,垂足为D.在Rt△OPD中,OD=OP•cos60°=2×...
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